Định nghĩa và ví dụ Hàm số chẵn và lẻ

Hàm số thực thường được phân loại thành hàm chẵn hoặc lẻ, tức là các hàm số với giá trị thực của một biến thực. Tuy nhiên, có thể định nghĩa tổng quát hơn khi miền xác định và miền đích của hàm đều có tính nghịch đảo phép cộng. Các tập này bao gồm các nhóm Abel, mọi vành, trường và không gian vectơ. Vì thế, chẳng hạn một hàm thực hay một hàm giá trị phức của một biến vectơ đều có thể là hàm chẵn hoặc lẻ, và cứ như vậy.

Dưới đây là một số ví dụ về các hàm thực để minh họa tính đối xứng của đồ thị các hàm đó.

Hàm số chẵn

f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} là một ví dụ về một hàm chẵn.

Cho f là một hàm số giá trị thực của một đối số thực. Vậy thì f là chẵn nếu điều kiện sau được thỏa mãn với mọi x sao cho cả x và -x đều thuộc miền xác định của f:[1]:p. 11

f ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle f(x)=f(-x)}

 

 

 

 

(Eq.1)

hoặc phát biểu một cách tương đương, nếu phương trình sau thỏa mãn với mọi x trong miền xác định:

f ( x ) − f ( − x ) = 0. {\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}

Về mặt hình học, đồ thị của một hàm số chẵn đối xứng qua trục y, nghĩa là đồ thị của nó giữ không đổi sau phép lấy đối xứng qua trục y.

Ví dụ về các hàm chẵn là:

Hàm số lẻ

f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} là một ví dụ về một hàm lẻ.

Tiếp tục cho f là một hàm có giá trị thực của một đối số (biến) thực. Vậy f là hàm số lẻ nếu phương trình sau thỏa mãn với mọi x sao cho x và -x đều nằm trong miền xác định của f:[1]:p. 72

− f ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle -f(x)=f(-x)}

 

 

 

 

(Eq.2)

hoặc một cách tương đương nếu phương trình sau đúng với mọi x thuộc miền xác định của f:

f ( x ) + f ( − x ) = 0. {\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}

Về mặt hình học, đồ thị của một hàm lẻ có tính đối xứng tâm quay qua gốc tọa độ, nghĩa là đồ thị của nó không đổi sau khi thực hiện phép quay 180 độ quanh điểm gốc.

Ví dụ về các hàm lẻ là:

  • Hàm đồng nhất x ↦ x , {\displaystyle x\mapsto x,}
  • x ↦ x 3 , {\displaystyle x\mapsto x^{3},}
  • Hàm sin sin , {\displaystyle \sin ,}
  • Hàm sin hyperbol sinh , {\displaystyle \sinh ,}
  • Hàm lỗi erf . {\displaystyle \operatorname {erf} .}
f ( x ) = x 3 + 1 {\displaystyle f(x)=x^{3}+1} là một hàm không chẵn cũng không lẻ.